Ο όρος άλγεβρα είναι απόδοση τού αραβικού al-jabr, που αποτε- λούσε τμήμα τού πλήρους
τίτλου τού έργου «Αl-Kitāb al-mukhta- şar fī hisāb al-jabr wa-l-muqā-
bala» («Συνοπτικό βιβλίο υπολο- γισμών με συμπλήρωση και εξίσωση» -
βασισμένο στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη) τού μεγάλου άραβα μαθηματικού τού
θ΄ αι. μ.Χ., Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, που θεωρείται από τους
δυτικούς ως ο πατέρας τής άλγεβρας μαζί με τον Διόφαντο.
Με τον όρο aljabr επικράτησε να χαρακτηρίζονται στα αραβικά και
μεταγενέστερα έργα, που αναφέρονταν στο ίδιο θέμα, κι έτσι βαθμηδόν
γενικεύτηκε ως όρος τής μαθηματικής επιστήμης.
O όρος αλγόριθμος επίσης προέρχεται από το όνομα τού ίδιου άραβα επιστήμονα (al-Khwārizmī, εκλατινισμένο).
Αριστερά εικονίζεται ο  Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī σε επετειακό γραμματόσημο
για τα 1.200 χρόνια από τη γέννησή του και δεξιά σελίδα από το έργο
του.
(Διαβάστε στην «Ελεύθερη Έρευνα»:
Το «διάλειμμα» τής δυναστείας των Αβασσιδών).
Τα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων»
Οι προτάσεις των «Στοιχείων» διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, σε θεωρήματα
και σε προβλήματα. Στα θεωρήματα ανήκουν οι προτάσεις, των οποίων
ζητείται η εύρεση τής αλήθειας, δηλαδή τού ισχυρισμού τους, αποδεικτικά.
Στα προβλήματα ανήκουν οι προτάσεις, στις οποίες ζητείται η κατασκευή
ορισμένου γεωμετρικού σχήματος.

Μετά την απόδειξη κάθε θεωρήματος ο Ευκλείδης επαναλαμβάνει την εκφώνησή του και προσθέτει: «όπερ έδει δείξαι». Στο τέλος κάθε προβλήματος προσθέτει την φράση: «όπερ έδει ποιήσαι».

Στο πρώτο βιβλίο των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη προτάσσονται 23 ορισμοί, 5 αιτήματα και 9
κοινές έννοιες. (Ο Αριστοτέλης αντί των όρων αίτημα και έννοια προτιμά
τον όρο αξίωμα.) Ακολούθως έπονται 48 θεωρήματα και τα προβλήματα. (Το
47ο θεώρημα είναι το πυθαγόρειο θεώρημα).

Το δεύτερο βιβλίο περιέχει 14 θεωρήματα και προβλήματα, στα οποία κυρίως εξετάζονται
γεωμετρικώς θεμελιώδεις ταυτότητες της άλγεβρας. Ως ενδέκατο πρόβλημα
εξετάζεται το θεώρημα τής χρυσής τομής.


Ανδριάντας τού Ευκλείδη
στο Μουσείο
Φυσικής Ιστορίας
τού πανεπιστημίου
τής Οξφόρδης. Στο τρίτο βιβλίο, όπου περιέχονται 37 θεωρήματα και προβλήματα, εξετάζονται οι ιδιότητες
τού κύκλου, αφού προτίθενται 11 ορισμοί, στους οποίους καθορίζεται πότε
οι κύκλοι είναι ίσοι, πότε ευθεία εφάπτεται κύκλου κ.λπ..

Στο τέταρτο βιβλίο, αφού προτάσσονται επτά ορισμοί, εξετάζεται η κατασκευή των απλούστερων
κανονικών πολυγώνων και η εγγραφή και περιγραφή αυτών σε κύκλο σε 16
προτάσεις.

Στο πέμπτο βιβλίο προτάσσονται 18 ορισμοί και ακολουθούν 25 θεωρήματα, στα οποία ερευνώνται ιδιότητες των αναλογιών.
Τον τέταρτο ορισμό οι νεώτεροι τον ονομάζουν αξίωμα τής συνέχειας, που
χρησιμοποιείται στα ανώτερα μαθηματικά.

Στο έκτο βιβλίο προτάσσονται πέντε ορισμοί και ακολουθούν 33 θεωρήματα, στα οποία γίνεται η έρευνα ομοίων σχημάτων.

Το έβδομο, όγδοο και ένατο βιβλία περιέχουν τα στοιχεία τής θεωρίας των αριθμών.
Το δέκατο βιβλίο είναι το εκτενέστερο όλων. Περιέχει τέσσερις ορισμούς και 115 θεωρήματα.
Είναι το δυσκολότερο από όλα τα βιβλία των «Στοιχείων». Είναι ζήτημα αν
υπάρχουν ελάχιστοι μαθηματικοί στον κόσμο, οι οποίοι το κατανοούν. Εξ
άλλου δεν υπάρχει ομοφωνία μεταξύ των ειδικών για το σκοπό του βιβλίου
αυτού, το οποίο σύμφωνα με ορισμένους αποσκοπεί στο να δείξει, ότι η
αρμονία τού Σύμπαντος διέπεται από τη συμμετρία και την ασυμμετρία, οι
οποίες συνδυαζόμενες παράγουν αρμονία, όπως θεωρείται ότι αυτό νοείται
από την πλατωνική διδασκαλία.

Κατασκευή
δωδεκάεδρου
με βάση ένα κύβο.
Το ενδέκατο, δωδέκατο και δέκατο τρίτο βιβλία αφορούν στη στερεομετρία. Τού ενδέκατου βιβλίου προτάσσονται 28
ορισμοί, οι οποίοι καθορίζουν τα στερεά σχήματα και έπονται 39
θεωρήματα, στα οποία εξετάζονται τα πρίσματα. Η πυραμίδα, ο κώνος, ο
κύλινδρος και η σφαίρα εξετάζονται σε 18 θεωρήματα τού δωδεκάτου
βιβλίου, ενώ η σπουδή και η εγγραφή των πέντε κανονικών πολυέδρων σε
σφαίρα γίνεται στο δέκατο τρίτο και τελευταίο βιβλίο των «Στοιχείων», το
οποίο περιέχει επίσης 18 θεωρήματα.

Οι μέθοδοι απόδειξης, τις οποίες χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία»
είναι οι εξής τέσσερις: Η συνθετική, η τής απαγωγής σε άτοπο (ή σε
αδύνατο), η αναλυτική και η τής τέλειας επαγωγής (ή τού αναδρομικού
συλλογισμού). Κατά γενική ομολογία η συνθετική μέθοδος είναι η κατ’
εξοχή χρησιμοποιούμενη από τη μαθηματική επιστήμη. Ο Αριστοτέλης την
ονομάζει δεικτική ή κατηγορική.

Ο υδατόπυργος (αριστερά) αποτελείται από ένα κώνο, ένα κύλινδρο κι ένα ημισφαίριο. Ο όγκος του μπορεί να υπολογιστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία.
Δεξιά: Η ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό οριγκάμι.

Οι δήθεν μή ευκλείδειες γεωμετρίες
Τον 19ο αιώνα εξαγγέλθηκε, ότι εκτός τής γεωμετρίας τού Ευκλείδη
ανακαλύφθηκαν και άλλα δύο είδη γεωμετριών, μη ευκλείδειων, των οποίων
το μεν ένα είδος ονομάστηκε υπερβολική γεωμετρία, το δε άλλο ονομάστηκε ελλειπτική γεωμετρία.

Υποστηριζόταν, ότι η μεν γεωμετρία τού Ευκλείδη ισχύει για τις μικρές αποστάσεις, ενώ
οι μή ευκλείδειες ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις και τα μεγάλα
τρίγωνα.

Προϊόντος τού χρόνου παρατηρήθηκε, ότι ενώ ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί ως υπόβαθρο τής γεωμετρίας του 14 αξιώματα, οι
ισχυριζόμενοι, ότι ανακάλυψαν τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, λαμβάνουν
13 αξιώματα τού Ευκλείδη, τα βαπτίζουν «απόλυτη γεωμετρία» και σε αυτά
προσθέτουν ένα αξίωμα περί παραλλήλων, διαφορετικό τού πέμπτου
ευκλείδειου αξιώματος περί παραλλήλων.

Δεδομένου, ότι οι νέες γεωμετρίες είναι κατά τα 13/14 ευκλείδειες, η πλέον εύστοχη ονομασία
τους έπρεπε να είναι: «Ασκήσεις επί τής ευκλείδειας γεωμετρίας».

Το αξίωμα τού Ευκλείδη περί παραλλήλων πρεσβεύει, ότι «εάν σε ένα επίπεδο θεωρήσουμε ευθεία γραμμή και ένα σημείο τού επιπέδου
εκτός τής ευθείας, από το σημείο αυτό άγεται μια μόνο παράλληλος προς
την ευθεία».

Σύμφωνα με την υπερβολική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου άγονται άπειροι
παράλληλοι προς την ευθεία».

Σύμφωνα με την ελλειπτική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου καμμία
παράλληλος δέν άγεται προς την ευθεία».

---

Μετά την κατάκτηση των χωρών τής Εγγύς και Μέσης Ανατολής από τους άραβες, η
αρχαία πολιτιστική κληρονομιά πέρασε στην αραβική γλώσσα. Από τα πρώτα
ελληνικά έργα, που μεταφράστηκαν στα αραβικά, ήταν τα «Στοιχεία» τού
Ευκλείδη.

Από τους άραβες, που κατείχαν την Ιβηρική χερσόνησο, το έργο πέρασε τον
μεσαίωνα στην Ευρώπη και άσκησε την πιο ισχυρή επίδραση στους ευρωπαίους
μαθηματικούς, περισσότερο από κάθε άλλο σχετικό έργο τής αρχαιότητας.
Έτσι ξεκίνησε η Αναγέννηση στην Ευρώπη κι όχι μέσω τού Βυζαντίου, όπως
προπαγανδίζουν οι ρωμιοχριστιανοί θεωρητικοί.

Αριστερά εικονίζεται αραβικό σχόλιο στα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη. (Περίπου 1.250 μ.Χ., Λονδίνο, Βρετανικό Μουσείο).

---

Οι κατασκευαστές των δορυφόρων και των πυραύλων περιφρονούν τελείως τις μή
ευκλείδειες γεωμετρίες, που δήθεν ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις,
και χρησιμοποιούν για τις κατασκευές τους μόνο την ευκλείδεια γεωμετρία.

Εξ ίσου ενδιαφέρουσα είναι και η παρατήρηση, ότι κατά τα τελευταία έτη
διδασκόταν στη θεωρία των συνόλων, σε όλα τα πανεπιστήμια τού κόσμου,
ότι το μέρος είναι μεγαλύτερο τού όλου προς «μεγάλη έκπληξη και καγχασμό
τού Ευκλείδη», ο οποίος διδάσκει, ότι το όλον είναι μεγαλύτερο τού
μέρους.

Και ναι μέν ο Ησίοδος γράφει, ότι το ήμισυ είναι περισσότερο τού όλου, Αυτό όμως, όχι με την μαθηματική έννοια, αλλά με
την έννοια, ότι αυτός, που έχει λίγα εισοδήματα, αλλά δαπανά με σύνεση,
περνάει καλύτερα από τον πλούσιο, αλλά σπάταλο.

Αλλά και άλλες παρατηρήσεις σημειώνονται στις αρχές τής γεωμετρίας, από τη δημιουργία
τής λεγομένης συμβολικής και τής μαθηματικής λογικής. Υποστηρίζουν
λοιπόν, ότι η λογική είναι μια και ισχύει για όλες τις επιστήμες, όπως
την διατύπωσε ο Αριστοτέλης, κι ότι αν υπάρχει συμβολική λογική και
μαθηματική λογική, θα πρέπει να υπάρχει και φυσική λογική και φιλολογική
λογική και φαρμακευτική λογική κ.τ.λ.. Τίποτε όμως, δέν ακούγεται για
την ύπαρξη τέτοιων λογικών!

Πατριαρχείο εναντίον Ευκλείδη:
Ο αφορισμός τού Ανθρακίτη.

Ο Μεθόδιος Ανθρακίτης καταδικάστηκε από το Πατριαρχείο τον 18ο αιώνα και φυλακίστηκε, γιατί δίδασκε Φιλοσοφία και Μαθηματικά.

Σε επιστολή του προς τους προκρίτους των Ιωαννίνων, που έγραψε μετά τη δίκη του, αναφέρει:

«Γενομένης συνόδου παρεστάθηκα έμπρο- σθέν τους. Πόσοι ήσαν δέν δύναμαι να
μετρήσω. Μού παρουσίασαν τα τετράδια διδασκαλίας μου με γνώμες από
αρχαίους φιλοσόφους και την Γεωμετρίαν τού Ευκλεί- δου. “Είναι δικά
σου;”... “Δέν είναι δικές μου γνώμες, είναι γνώμες των φιλοσόφων.” Τα
κατεδίκασαν και τα έκαυσαν.

»Την άλλην Κυριακήν άναψαν φωτιά εις τρία μέρη της αυλής των Πατριαρχείων. Ολόγυρα, δια να ευχαριστηθούν το
σωτήριον θέαμα, ευρίσκοντο κληρικοί και λαός άπειρος, γεμιτζήδες,
παπουτσήδες, ραφτάδες. Συναθροίζουν Λογικές, Φυσικές, Ευκλείδην και
έτερα Μαθηματικά και τα ρίπτουν στις πυρές. Οι φλόγες αντιφέγγισαν στα
πρόσωπά τους, όχι όμως το φως μα τα σκοτάδια...

»Μού ζήτησαν να ομολογήσω, ότι παρεκινήθην από σατανικήν συνεργίαν, εθελοκακίαν και
φρενοβλάβειαν και να τα αναθεματίσω ως δυσσεβή και γέμοντα πάσης
βλασφημίας και ότι ουδέποτε πλέον θα διδάξω, ειδάλλως θα είμαι υπόδικος
τω αιωνίω αναθέματι.» (Δ. Φωτιάδης, «Η Επανάσταση του ’21», τ. Α , σελ.
160. Το επίσημο κείμενο τής καθαίρεσης τού Μεθοδίου τού Ανθρακίτου,
Ιερεμίου Γ’, «Καθαίρεσις διεξοδική τού κακοΜεθοδίου, του όντος από την
επαρχίαν Αχρίδος, δια τα μιαρά και ασεβείας γέμοντα συγγράμματα αυτού»,
εκδ. 1720, τ. 3, σελ. 868-873).
Ο Στοβαίος (ε΄αι. μ.Χ.) διέσωσε το ακόλουθο χαρακτηριστικό περιστατικό μεταξύ τού
Ευκλείδη και κάποιου μαθητή του: Όταν κάποιος, που άρχισε να διδάσκεται
γεωμετρία από τον Ευκλείδη, έμαθε το πρώτο θεώρημα, ρώτησε τον Ευκλείδη:
«Και τώρα τι κέρδος θα έχω, αφού το έμαθα;»

Ο Ευκλείδης κάλεσε τον υπηρέτη του και τού είπε: «Δώσε του τρεις οβολούς, επειδή πρέπει να κερδίζει από εκείνα, τα οποία μαθαίνει.» (Ανθολογία Στοβαίου, εκδ. Μeineke, τομ. IV, σελ. 205.)

Σημείωση:Στην «Ελεύθερη Έρευνα» υπάρχουν πολλά ακόμα άρθρα-μελέτες για την αρχαία επιστήμη. Βλ.: Θεματολόγιο / Επιστήμες.